Навеяно: задачей из задачника Меледина
Посвящается: Ире, которая хотела построить много
ступенек, чтобы добраться до неба и поймать самолет
Все мы привыкли к постоянному присутствию самолетов в небе у нас над головой. А они не так просты как кажутся (нажмите на нужный текст внизу, чтобы прочесть подробнее):
• Когда самолет медленно движется вдали, он приближается к нам намного быстрее чем когда пролетает "на всех парах" у нас нас над головой. Хотя нам и кажется наоборот.
Когда самолет летит вдали, кажется что он летит медленно, т.к. угол, под которым мы его видим (b), изменяется очень медленно. Когда самолет пролетает вблизи, нам надо быстро крутить головой чтобы следить за ним взглядом. Тут угол под которым мы его видим меняется быстро. Получается, что скорость движения самолета мы оцениваем по быстроте изменения угла, под которым мы его видим.
Давайте рассчитаем, с какой скоростью самолет действительно к нам приближается. Пусть он летит на высоте h со скоростью v (см. рис.1).
В начальный момент (t=0) расстояние между самолетом и человеком по горизонтали - L.Тогда расстояние между ними по прямой будет так зависеть от времени:
Скорость u, с которой самолет будет приближаться к человеку равна:
Зависимость скорости u от расстояния до человека по горизонтали x=L-vt схематично выглядит так:
Человек "стоит в начале координат". Как видно из рисунка, самолет сначало приближается к человеку на довольно большой скорости. Потом, на подлете, она падает и равна нулю (не включая) когда самолет находится точно над головой. Потом, по мере удаления самолета, все происходит в обратном порядке.
Давайте рассчитаем, с какой скоростью самолет действительно к нам приближается. Пусть он летит на высоте h со скоростью v (см. рис.1).
В начальный момент (t=0) расстояние между самолетом и человеком по горизонтали - L.Тогда расстояние между ними по прямой будет так зависеть от времени:
Скорость u, с которой самолет будет приближаться к человеку равна:
Зависимость скорости u от расстояния до человека по горизонтали x=L-vt схематично выглядит так:
Человек "стоит в начале координат". Как видно из рисунка, самолет сначало приближается к человеку на довольно большой скорости. Потом, на подлете, она падает и равна нулю (не включая) когда самолет находится точно над головой. Потом, по мере удаления самолета, все происходит в обратном порядке.
• Звук не успевает за сверхзвуковым самолетом: он уже улетел направо, а звук только приходит слева. Но и с обычными самолетами, летающими на дозвуковых скоростях может быть то же самое, если они летят достаточно высоко.
Действительно, скорость звука не такая высокая, всего 330м/с. Поэтому, если самолет летит высоко, звук от него будет идти довольно долго. А если учесть то что было сказано выше (про угол поворота головы на самолет и вид волнового фронта), то понятно, что направление на самолет по звуку будет "отставать" от визуального направления.
• Мы видим белый след за самолетом, так как он вызывает за собой конденсацию капелек воды в небе. А как бы выглядел его след, если бы мы могли видеть издаваемый им звук?
При полете самолет издает звук. Он представляет собой колебание воздуха - сферические волны, разбегающиеся во все стороны со скоростью звука с (~1000км/ч или ~300м/с). Каждая точка, через которую пролетал самолет, становится центром одной из таких волн.
Нечто похожее мы наблюдаем когда проводим палкой по поверхности воды. Как правило, мы видим расходящуюся треугольную волну.
Определим тут, как будет выглядеть фронт звуковых волн для самолета. Рассмотрим две сферические волны, расположенные рядышком.
К одному и тому же моменту времени левая волна "выдвинулась" до точки А, а правая - до В. Казалось бы вполне логичным провести фронт через эти точки. На рисунке он изображен оранжевым цветом и, как не сложно увидеть, расположен под углом a=arctg(c/v), где v - скорость самолета.
Нечто похожее мы наблюдаем когда проводим палкой по поверхности воды. Как правило, мы видим расходящуюся треугольную волну.
Определим тут, как будет выглядеть фронт звуковых волн для самолета. Рассмотрим две сферические волны, расположенные рядышком.
Но тут возникает вопрос: а что если какая-то волна, лежащая еще левее чем изображенные на рисунке, и соответственно, имеющая еще больший радиус, будет располагаться еще выше чем фронт АВ? Скажем, в точке С. Если это так, то искомый волновой фронт будет выглядеть иначе.
Разберемся с этим вопросом: как конкретно распространяется звук самолета и как он образует звуковой фронт. Для этого определим, где находится центр той звуковой волны, которая формирует конкретную точку на волновом фронте.
Рассмотри точку А - точку за пролетевшим самолетом. Пусть она находится на расстоянии h от траектории самолета. Рассмотрим тот момент, когда в А пришел звук из точки В. Предположим, что звук из точки С к этому времени уже был в А. Надо найти такую точку С, звук из которой побывал в А раньше всех.
Подробнее про звуковой фронт можно почитать тут (взято с avia-simply.ru).
Подробнее про звуковой фронт можно почитать тут (взято с avia-simply.ru).
• Самолеты на сверхзвуковых скоростях вообще чудные. Мы услышим их когда они уже пролетят мимо. Но это еще не все. Обычно мы слышим те звуки, которые издаются вначале, а потом те что в конце. А для сверхзвукового самолета мы сначала услышим его шум на подлете к нам, а потом тот шум что был когда он был далеко.
Источник: Герман Бонди "Относительность и здравый смысл".
Итак, некоторое время самолет сохраняет примерно одно и то же расстояние от нас. А раз его расстояние до нас уменьшается медленнее, чем распространяется звук, то звук от более поздних моментов полета дойдет до нас позднее, чем от более ранних, как обычно. Значит, дальнюю часть полета самолета мы прослушиваем в обратном порядке, а более близкую (позднюю) часть полета слышим в обычной последовательности. Поэтому сначала мы вообще не слышим этого самолета, а затем до нас одновременно доходит звук сразу со значительной части его пути, потому что там расстояние от самолета до нас уменьшалось точно с такой же скоростью, с которой это расстояние про-ходил звук. Таким образом, гул от самолета за некоторый промежуток времени придет к нам в один и тот же момент. Именно это неожиданное появление звука сразу от целого отрезка пути самолета, ставшее таким оглушительным благодаря сложению всех шумов, и называется ударной волной.
Для большей определенности предположим (см. табл. 1), что, когда наш секундомер показывает 0 сек, самолет находился на таком расстоянии от нас, при котором точка на земной поверхности, находящаяся прямо под самолетом, была удалена от нас ровно на 12 км. Поскольку самолет летел на высоте 4 км, его расстояние от нас было немного больше, а именно 12,7 км; чтобы дойти до нас, звуку требовалось приблизительно 38,5 сек. За следующие 10 сек самолет пролетел около 4 км. Точка, над которой он находился, была от нас уже в 8 км, расстояние между нами и самолетом по прямой составляло около 9 км, и звуку требовалось 27,3 сек, чтобы пройти его. В этом случае звук был испущен на 10 сек позже, чем в предыдущем, так что он пришел к нам через 37,3 сек после 0 секя т. е. за 0,8 сек до того звука, который был испущен десятью секундами раньше. Еще через 5 сек точка, над которой пролетал самолет, была от нас всего в 6 км, расстояние по прямой от самолета до нас равнялось 7,2 км, и звук покрыл его за 21,8 сек, придя к нам еще на полсекунды раньше, чем звук, излученный за 5 сек до этого.
| Момент испускания звука, сек | Координата точки, над которой пролетает самолет, км | Расстояние от самолета до наблюдателя по прямой, км | Время пробега звука, сек | Момент прихода звука к наблюдателю, сек |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 12 | 12,7 | 38,5 | 0+38,5 |
| 0+5 | 10 | 10,8 | 32,7 | 0+37,7 |
| 0+10 | 8 | 9,0 | 27,3 | 0+37,3 |
| 0+15 | 6 | 7,2 | 21,8 | 0+36,8 |
| 0+20 | 4 | 5,6 | 17,0 | 0+37,0 |
| 0+25 | 2 | 4,5 | 13,6 | 0+38,6 |
| 0+30 | 0 | 4,0 | 12,1 | 0+42,1 |
Часто можно наблюдать еще одно явление. Пусть самолет летел сначала в том же направлении и на той же высоте, что и в предыдущем примере, но скорость его немного меньше скорости звука. Поэтому, хотя он и приближался к нам довольно быстро, звук, соответствующий различным моментам полета, доходил до нас в порядке следования этих моментов друг за другом. Допустим теперь, что самолет стал лететь быстрее, превышая скорость звука, и тогда началась уже рассмотренная нами картина, когда, как мы помним, гул воспринимался в обратном порядке по времени. Между периодом поступления звука в нормальном порядке (дозвуковой полет) и периодом поступления звука в обратном порядке (сверхзвуковой полет) должен быть такой момент, когда мы одновременно услышим звук, пришедший с целого участка пути самолета - новый звуковой удар. Это случится как раз в момент приближения к нам самолета со скоростью звука. Сам он в этот момент будет двигаться немного быстрее звука, так как его путь направлен не точно к нам. Значит, при таком полете будет два звуковых удара, и сначала мы услышим первый из упомянутых здесь. До этого удара мы еще ничего не слышали, а после него мы услышим сразу звук, испущенный в течение трех периодов полета: в дозвуковом полете, пока самолет еще не увеличил свою скорость, поступающий к нам в нормальном порядке; при сверхзвуковом полете на том участке, где самолет был еще далеко от нас, - в обратном порядке по времени; наконец, на последнем участке полета, начиная с того момента, когда самолет был почти прямо над нами, - вновь поступающий в нормальном порядке, но одновременно с двумя предыдущими звуками. Чуть позже мы услышим второй удар, который мы разобрали здесь только что; после него мы будем слышать лишь звук, испущенный этим самолетом, когда он был над нами или уже улетал вдаль.
Разные результаты, получаемые при движении излучателя или приемника звука, следуют из того, что ударные волны могут появиться только при движении излучателя со сверхзвуковой скоростью. Пусть на поверхности земли имеется источник звука и навстречу ему со скоростью, превышающей скорость звука, летит самолет. Его пассажиры не услышат ничего похожего на звуковой удар. Дело в том, что удар случается лишь тогда, когда звук собирается сразу от целого отрезка пути, в один и тот же момент приходя к приемнику. Если бы излучатель покоился относительно воздуха, то, чтобы дать такой эффект, звуковым волнам пришлось бы догонять друг друга, а это никак не может быть, так как скорость звука одна и та же для всех звуковых волн - и никакого удара не произойдет.
Мы хорошо знакомы еще с одним видом волн - с волнами на поверхности воды. Подобно звуковым волнам, они распространяются в среде (воде), но свойства их гораздо сложнее, потому что скорость их зависит от длины волны. Например, волны длиной 450 м (расстояние между соседними гребнями) бегут по океану со скоростью около 100 км/час, тогда как волны, расстояние между соседними гребнями которых составляет всего 30 см, движутся со скоростью только 2,4 км/час. Но несмотря на это различие, на примере таких волн можно проиллюстрировать многие свойства звуковых волн, обсуждавшиеся в этой главе.
, то с очень большой вероятностью они разлетятся, и никакой стабильной системы не образуют.
, 
) можно свести эту систему к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
