среда, 1 января 2014 г.

Задача N тел

Этот пост навеян просмотром научно-популярного 
сериала канала Discovery "How the Univers works".
Посвящается: Вале.

В космосе многие известные нам тела движутся по эллипсам друг вокруг друга: планеты вокруг солнца, спутники вокруг планет. Но если взять несколько тел в компьютерном эксперименте, где они так же будут притягиваться друг к другу с силой гравитационного притяжения \vec{F_{ij}}=G\frac{m_{i}m_{j}}{r_{ij}^{3}}\vec{r}_{ij}, то с очень большой вероятностью они разлетятся, и никакой стабильной системы не образуют.
(+ читать далее...)
Дело тут в том, что для трех и более гравитируюих тел очень сложно подобрать такое их положение и скорости, чтобы они двигались друг вокруг друга, не разлетаясь и не сталкиваясь. Хотя, некоторые устойчивые комбинации все же возможны.
Решая задачи с тремя и более телами, почти всегда используют численный эксперимент. Дифференциальные уравнения, описывающие движение n притягивающихся гравитационно тел выглкдят так:
\left\{ { m_{1}\ddot{\vec{r_{1}}}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r_{1,2}^3}\vec{r_{1,2}}+G\frac{m_{1}m_{3}}{r_{1,3}^3}\vec{r_{1,3}}+...\atop m_{2}\ddot{\vec{r_{2}}}=G\frac{m_{2}m_{1}}{r_{2,1}^3}\vec{r_{2,1}} +G\frac{m_{2}m_{3}}{r_{2,3}^3}\vec{r_{2,3}}+... \\ ...} \right.
Введя скорость (\ddot{\vec{r_{i}}}=\dot{\vec{v_{i}}} ,  \dot{\vec{r_{i}}}=\vec{v_{i}}) можно свести эту систему к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
\left\{ { \dot{\vec{r_{1}}}=\vec{v_{1}}\\\dot{\vec{v_{1}}}=G\frac{m_{2}}{r_{1,2}^3}\vec{r_{1,2}}+G\frac{m_{3}}{r_{1,3}^3}\vec{r_{1,3}}+...\\\dot{\vec{r_{2}}}=\vec{v_{2}}\\\dot{\vec{v_{2}}}=G\frac{m_{1}}{r_{2,1}^3}\vec{r_{2,1}} +G\frac{m_{3}}{r_{2,3}^3}\vec{r_{2,3}}+... \\ ...} \right.
Эти системы можно решать методом численного интегрирования Рунге-Кутты. Вот пример такой программы, написанной Владимиром Романюком (переключать различные режимы можно кнопками 1-9).

Интересно отметить, что показанная выше задача о разлете произвольного числа тел интегрируема. Грубо говоря, траектории этих тел можно легко рассчитать с большой точностью. А вот если рассмотреть всего три тела, но вращающихся друг вокруг друга (например, движение двух планет вокруг Солнца), то все оказывается куда сложнее. Эта задача неинегрируема, и возмущения их движения, хотя и малые, могут накапливаться со временем. Это приводит к тому, что если такую систему моделировать, то со временем расчеты начнут существенно расходиться с действительностью (источник).
Вообще, если подобрать начальное положение и скорости k (k>2) гравитирующих тел так, что они будут двигаться у аттрактора или сепаратрисы, их движение станет хаотичным. Под "хаотичностью" тут подразумевается динамический хаос, когда небольшие изменения в начальных условиях приводят к значительным изменениям результата. Например, если ошибиться с заданием начальных положений планет на несколько метров, то довольно быстро это отличие от их истинного положения может стать равным километрам и даже больше (планеты вообще сорвутся со своих орбит и улетят в открытый космос).

 Замечание: более серьезное рассмотрение задачи n тел можно почитать тут.
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)